Ma trận nghịch đảo là gì? Cách tìm ma trận nghịch đảo 2×2, 3×3, 4×4

Hiện nay có rất nhiều bạn học sinh không biết cách tính ma trận nghịch đảo 2×2, 3×3, 4×4 như thế nào? Chính vì vậy chúng tôi sẽ hướng dẫn cách tính ma trận nghịch đảo kèm theo các dạng bài tập có lời giải chi tiết dưới bài viết dưới đây mời các bạn cùng tham khảo.

Ma trận nghịch đảo là gì?

Cho ma trận A vuông cấp n. Ta nói ma trận A là ma trận khả nghịch nếu tồn tại ma trận B sao cho AB = BA = E_n . Khi đó, B gọi là ma trận nghịch đảo của ma trận A, kí hiệu là A^-1.

Như vậy, A.A^-1= A^-1.A= I_n

Ma trận nghịch đảo là một loại ma trận đặc biệt được sử dụng trong toán học và các lĩnh vực liên quan.

Tính chất của ma trận nghịch đảo

• Điều kiện cần và đủ để có ma trận A khả nghịch bậc n là định thức của A là một phần tử khả nghịch trong vành V.
• Nếu A là một ma trận trên một trường F, thì A chỉ khả nghịch với ᴠa nếu định thức của nó khác 0.
• Ma trận nhận dạng là một ma trận khả nghịch.
• Nếu A, B là ma trận khả nghịch thì AB khả nghịch à (AB)^{-Đầu tiên} = HẾT^{-Đầu tiên}MỘT^{-Đầu tiên}
• Tập hợp các ma trận bậc n trên K là khả nghịch và được ký hiệu là GL_n(K).

Cách tìm ma trận nghịch đảo 3×3

1. Tạo ma trận bổ sung

Bước 1: Kiểm tra định thức của ma trận, ký hiệu là det(A).
Nếu det(A)=0 thì A không có ma trận nghịch đảo A^-1 Nếu det(A)≠0 thì A có ma trận A-1, chuyển sang bước 2
Bước 2: Chuyển vị ma trận gốc tức là đổi vị trí của phần tử thứ (i,j) và chỗ của phần tử (j,i) với nhau.
Bước 3: Tìm định thức của từng ma trận con 2×2 liên kết với ma trận chuyển vị 3×3 mới.
Bước 4: Tạo ma trận các phần phụ đại số, ký hiệu là Adj(M). A* = (A‘_ij) với A‘ = (A‘_ij) là phần bù đại số của phần tử ở hàng i, cột j trong ma trận A‘

Bước 5: Thực hiện phép chia của toàn bộ các phần tử của ma trận bổ sung với định thức của ma trận là det(M).

2. Giảm hàng tuyến tính

• Bước 1: Thực hiện thêm ma trận đơn vị vào trong ma trận gốc
• Bước 2: Tiến hành phép giảm hàng tuyến tính và thực hiện đến khi ma trận đơn vị được hình thành
• Bước 3: Viết lại ma trận nghịch đảo cho chuẩn xác

Cách tìm ma trận 2×2 bằng ma trận phụ (khử Gauss-Jordan)

Tham khảo thêm: Công thức tính đường chéo hình chữ nhật và VD có lời giải chuẩn 100%

Công thức tính ma trận nghịch đảo của A khi định thức của ma trận A là khả nghịch:

Cách tính ma trận 2 × 2 nghịch đảo bằng phương pháp sử dụng ma trận phụ (khử Gauss-Jordan) như sau:

Bước 1: thiết lập ma trận A | tôi_n lấy n hàng, 2n cột bằng cách thêm một ma trận đơn vị cấp n bên cạnh ma trận A

Bước 2: Sử dụng các phép biến đổi cơ bản dòng để có được ma trận [ A|I ] về hình thức [ A’ | B ]trong đó A ‘là ma trận bậc thang chính tắc thu được thông qua loại bỏ Gaussian.

Bước 3: kết luận

• Nếu A ‘= I_n thì A khả nghịch và A^{-đầu tiên} = HẾT
• Nếu A ‘≠ I_n thì ma trận A không khả nghịch. Chỉ cần trong quá trình biến đổi, nếu A ‘xuất hiện ít nhất 1 dòng 0 thì kết luận ngay rằng A không khả nghịch. Do đó, không cần đưa A ‘về dạng chính tắc và kết thúc thuật

Cách tìm ma trận nghịch đảo bằng phép khử Gauss-Jordan

Cách tìm ma trận nghịch đảo 4×4

1. Sử dụng phép biến đổi sơ lược 

Nếu det (A) ≠ 0 ta tính được A-đầu tiên bằng cách giảm ma trận [Anxn : In ] => [ In : A-1] trong đó I là ma trận đơn vị.

2. Sử dụng Hamilton-Caуleу.

Đa thức đặc trưng của ma trận Anхn = là: f (х) = det (хI – A)

Đặt Sp = tr (Ap) thành tr (Ap) = tổng các phần tử trên đường chéo chính của Ap

Nếu f(x) là đa thức đặc trưng của ma trận vuông A thì f(A)=0

Giả sử cho A khả đảo (det(A)≠0) có đa thức đặc trưng f(x)= xn + a1xn-1 + a2xn-2 +…+ an-1x + an thì An + a1An-1 + a2An-2 +…+ an-1A + an= O và an=(-1)n det(A) ≠0, ta nhân 2 vế cho A-1 được:

An-1 + a1An-2 + a1An-3 +…+ an-1I + anA-1 = O

=> A -1 = -1/a(An-1 + a1An-2 + a1An-3 +…+ an-1I)

Hướng dẫn cách tìm ma trận nghịch đảo bằng máy tính Fx570VN Plus

Để tính định thức và tìm ma trận nghịch đảo của ma trận bậc <= 3×3, ta có thể dùng máy tính bỏ túi Fx – 570VN để tính như sau:

Trên đây là những thông tin chi tiết nhằm giải đáp ma trận nghịch đảo là gì cùng cách tính toán bằng tay và máy tính. Hy vọng sau khi đọc bài viết của chúng tôi vừa chia sẻ có thể giúp bạn biết cách tìm ma trận nghịch đảo 2 × 2, 3 × 3 và 4 × 4 đơn giản và chính xác hơn.