Bội chung nhỏ nhất là kiến thức được học từ lớp 6 nhưng được áp dụng trong suốt quá trình học toán cấp 2, cấp 3. Chính vì vậy các bạn học sinh cần phải nắm được lý thuyết bội chung nhỏ nhất là gì và cách tìm bội chung nhỏ nhất. Cho nên chúng tôi sẽ tổng hợp lý thuyết và bài tập về bội chung nhỏ nhất chi tiết trong bài viết dưới đây.
Bội chung nhỏ nhất là gì?
Bội chung nhỏ nhất của a, b là số nhỏ nhất khác 0 trong tập hợp các bội chung của a, b. Kí hiệu BCNN(a, b).
VD: BCNN(6; 8; 1) = {6;8}
Cách tìm bội chung nhỏ nhất
- Bước 1: Phân tích mỗi số ra thừa số nguyên tố.
- Bước 2: Chọn ra các thừa số nguyên tố chung và riêng.
- Bước 3: Lập tích các thừa số đã chọn, mỗi thừa số lấy với số mũ lớn nhất của nó. Tích đó là bội chung nhỏ nhất cần tìm
Tìm bội chung nhỏ nhất theo phương pháp niêm yết
- Bước 1: Liệt kê một vài bội số đầu tiên của A và B.
- Bước 2: Đánh dấu các bội chung từ các bội của cả hai số.
- Bước 3: Chọn bội chung nhỏ nhất. Bội chung nhỏ nhất đó chính là ƯCLN của hai số.
Ví dụ: Tìm bội chung nhỏ nhất (BCNN) của 4 và 5.
Lời giải: Một số bội đầu tiên của 4 là: 4, 8, 12, 16, 20 , 24, 28, 32, 36, 40 , …
Và một số bội đầu tiên của 5 là: 5, 10, 15, 20 , 25, 30, 35, 40 , …
Chúng ta có thể quan sát thấy rằng 20 là bội chung nhỏ nhất trong các bội của 4 và 5. Do đó, bội chung nhỏ nhất (BCNN của 4 và 5) là 20
Tìm bội chung nhỏ nhất theo phương pháp thừa số nguyên tố:
- Bước 1: Tìm các thừa số nguyên tố của các số đã cho bằng phương pháp chia nhiều lần.
- Bước 2: Viết các số dưới dạng số mũ. Tìm tích của chỉ những thừa số nguyên tố có lũy thừa cao nhất.
- Bước 3: Tích của các thừa số có lũy thừa cao nhất này chính là BCNN của các số đã cho.
Ví dụ: Tìm bội số chung nhỏ nhất (BCNN) của 60 và 90 bằng cách sử dụng phân tích thừa số nguyên tố.
Lời giải:
60 = 2 × 2 × 3 × 5 và 90 = 2 × 3 × 3 × 5
60 = 22 × 31 × 51 và 90 = 21 × 32 × 51
22× 33 × 51 = 4 × 9 × 5 = 180
Do đó, BCNN của 60 và 90 = 180.
Tìm bội chung nhỏ nhất sử dụng phương pháp phân chia:
- Bước 1: Tìm một số nguyên tố là ước của ít nhất một trong các số đã cho. Viết số nguyên tố này vào bên trái các số đã cho.
- Bước 2: Nếu số nguyên tố ở bước 1 là một ước của số nào đó thì chia số đó cho số nguyên tố và viết thương ở bên dưới nó. Nếu số nguyên tố ở bước 1 không phải là ước của hợp số thì viết số nguyên tố đó vào hàng dưới đây. Tiếp tục các bước cho đến khi còn lại 1 ở hàng cuối cùng.
Ví dụ: Tìm bội chung nhỏ nhất (BCNN) của 6 và 15 bằng phương pháp chia.
Lời giải:
Bội số chung nhỏ nhất (BCNN) của 6 và 15 bằng cách sử dụng phương pháp chia theo các bước
Bước 1: 2 là số nguyên tố nhỏ nhất và nó là ước của 6. Viết 2 vào bên trái của hai số đó. Với mỗi số ở cột bên phải, tiếp tục tìm các số nguyên tố là ước của chúng.
Bước 2: 2 là thừa số 6 nhưng không phải là thừa số của 15 nên ta viết số 15 vào hàng dưới như cũ. Tiếp tục các bước cho đến khi còn lại 1 ở hàng cuối cùng. Sau đó, chúng ta chia 3 và 15 cho 3. Điều này cho chúng ta 1 và 5. Bây giờ, một lần nữa chúng ta viết 5 vào vế trái và cuối cùng chúng ta nhận được 1, 1 là thương ở hàng cuối cùng.
Bước 3: Sau đó ta nhân các số này với vế trái. BCNN là tích của tất cả các số nguyên tố này. BCNN của 6 và 15 là, 2 × 3 × 5 = 30.
| 2 | 6,15 |
| 3 | 3,15 |
| 5 | 1,5 |
| 1 | 1,1 |
Như vậy: BCNN (6, 15) = 30
Tham khảo thêm:
- Trung bình cộng là gì? Công thức tính trung bình cộng có VD
- Định nghĩa, tính chất, công thức tính đường trung tuyến kèm VD
- Trọng tâm là gì? Tính chất, công thức tính trọng tâm tam giác
Các dạng bài tập liên quan đến bội chung nhỏ nhất
Bài 1: Tìm BCNN(20;54)
Lời giải:
20=22.5
54 = 2.33
BCNN(20;54)= 22. 33.5=540
Bài 2: Biết số học sinh của một trường trong khoảng từ 400 đến 500 học sinh. Khi tập thể dục giữa giờ thì xếp thành các hàng có số học sinh bằng nhau thì thấy xếp thành 12 hàng, 15 hàng, 21 hàng đều vừa đủ. Tính số học sinh của trường đó.
Lời giải:
12=22.3 ; 15=3.5; 21=3.7
BCNN (12;15;21) = 22.3.5.7=420
BC( 12; 15;21) chính là bội của BCNN(12;15;21)
⇒ BC(12;15;21)= B(420) = {0,420,840,…..}
Số học sinh 400 ≤ x ≤ 450
⇒ Số học sinh là 420 học sinh.
Bài 3: Tìm số a nhỏ nhất (a ∊ N và a ≠ 0). Biết a ⋮ 15 và a ⋮ 18.
Lời giải:
Số tự nhiên a nhỏ nhất khác 0 chia hết đồng thời cho cả 15 và 18 chính là BCNN(15, 18).
Ta có: BCNN(15, 18) = 90.
Bài 4: Tìm các bội chung có ba chữ số của 63, 35 và 105
Lời giải:
63 = 32. 7
35 = 5.7
105 = 3.5.7
BCNN(63,35,105) = 32.5.7 = 315
BC(63, 35 , 105) = B(315) = {0;315;630;945;1260;…}
Vì số cần tìm có 3 chữ số
Vậy đó là các số 315;630;945
Bài 5: Học sinh lớp 6C khi xếp hàng 2, hàng 3, hàng 4, hàng 8 đều vừa đủ hàng. Biết số học sinh lớp đó trong khoảng từ 35 đến 60. Tính số học sinh lớp 6C.
Lời giải:
Vì khi học sinh lớp 6C xếp hàng 2, hàng 3, hàng 4, hàng 8 đều đủ hàng có nghĩa là số học sinh ấy là bội chung của 2, 3, 4, 8.
BCNN(2, 3, 4, 8) = 24. Mỗi bội của 24 cũng là một bội chung của 2, 3, 4, 8. Vì số học sinh của lớp 6C trong khoảng 35 đến 60 nên ta phải chọn bội của 24 thỏa mãn điều kiện này. Đó là 24 × 2 = 48.
Vậy lớp 6C có 48 học sinh.
Bài 6: Tìm bội chung nhỏ nhất của:
a) 60 và 280
b) 84 và 108
c) 13 và 15
Lời giải:
a) 60 = 2³ × 3 × 5
280 = 2² × 5 × 7
BCNN (60, 280) = 2³ × 3 × 5 × 7 = 840
b) 84 = 2² × 3 × 7
108 = 22.33
BCNN (84, 108) = 2² × 3³ × 7 = 756
c) BCNN (13, 15) = 195
Bài 7: Một số sách khi xếp thành từng bó 10 cuốn, 12 cuốn, 15 cuốn, 18 cuốn đề vừa đủ bó. Biết số sách trong khoảng từ 200 đến 500. Tính số sách.
Lời giải:
Gọi x là số sách 200< x < 500 x là số nguyên
x:10
x:12
x:15
x:18
⇒ x ∈ BC(10,12,15,18)
BCNN(10,12,15,18)= 22.32.5 = 180
BC(10,12,15,18) = B(180) = {0;180;360;720…}
⇒x = 360
Bài 8: Hai bạn An và Bách học chung trường nhưng khác lớp. An cứ 10 ngày lại trục nhật, Bách cứ 12 ngày lại trực nhật. Lần đầu cả hai bạn cùng trực nhật vào một ngày là hôm nay. Hỏi sau ít nhất bao nhiêu ngày nữa thì hai bạn lại trực nhật vào một ngày?
Lời giải:
Số ngày để An lặp lại việc trực nhật là một bội của 10.
Số ngày để Bách lặp lại việc trực nhật là một bội của 12.
Do đó, khoảng thời gian kể từ lần đầu tiên hai bạn cùng trực nhật đến những lần sau là bội chung của 10 và 12.
=> Khoảng thời gian ngắn nhất kể từ lần đầu đến lần thứ hai trực nhật cùng nhau là BCNN(10, 12).
Ta có: 10 = 2.5; 12 = 22.3
=> BCNN(10, 12) = 60
Vậy ít nhất 60 ngày sau khi hai bạn mới lại cùng nhau trực nhật.
Bài 9: Tính nhẩm BCNN của các số sau đây bằng cách nhân số lớn nhất trong dãy lần lượt với 1, 2, 3,… cho đến khi được một số chia hết cho tất cả các số còn lại:
a) 30 và 150
b) 40, 28, 140
c) 100, 120, 200
Lời giải:
a) 30 và 150
Vì 150 chia hết cho 30
=> BCNN(30; 150) = 150.
b) 40, 28, 140
Ta có: 140.2 = 280
Vì 280 ⋮ 40, 280 ⋮ 28 và 280 ⋮ 140
=> 280 = BCNN(40; 28; 140).
c) 100, 120, 200
Ta có: 200.3 = 600 chia hết đồng thời cho 100 và 120
=> BCNN(100; 120; 200) = 600.
Ở bài viết trên đã củng cố cho các em các kiến thức về bội chung nhỏ nhất và cách tìm bội chung nhỏ nhất. Hy vọng với những thông tin trên có thể giúp các bạn nhớ được lý thuyết và hiểu hơn để áp dụng vào các bài tập một cách dễ dàng.
