Trong bài viết dưới đây, Hyundai Smart Phone sẽ chia sẻ lý thuyết về phương trình Parabol, cách viết phương trình Parabol và cách xác định tọa độ đỉnh của Parabol kèm theo các dạng bài tập minh họa có lời giải chi tiết giúp bạn củng cố lại kiến thức của mình để vận dụng vào làm bài tập
Parabol là gì?
Trong toán học, parabol là một đường conic được tạo bởi giao của một hình nón và một mặt phẳng song song với đường sinh của hình đó. Một parabol cũng có thế được định nghĩa như một tập hợp các điểm trên mặt phẳng cách đều một điểm cho trước (tiêu điểm) và một đường thẳng cho trước (đường chuẩn).
Ví dụ: Cho một điểm F cố định và một đường thẳng Δ cố định không đi qua F. Thì đường Parabol là tập hợp tất cả các điểm M cách đều F và Δ. Trong đó:
- Điểm F được coi là tiêu điểm của Parabol
- Đường thẳng Δ được gọi là đường chuẩn của parabol.
- Khoảng cách từ F đến Δ được gọi là tham số tiêu của parabol.
Phương trình Parabol
1. Phương trình tổng quát của Parabol
Dạng tổng quát của phương trình Parabol có dạng: y = a2 + bx + c
- Hoành độ của đỉnh là −b/2a
- Thay tọa độ trục hoành vào phương trình, ta tìm được hoành độ Parabol có công thức dưới dạng: (b2−4ac)/4a.
- Tọa độ đỉnh của Parabol và hình dạng phụ thuộc vào dấu của a
2. Phương trình chính tắc của Parabol
Phương trình chính tắc của parabol được biểu diễn dưới dạng: y2 = 2px (p > 0)
Chứng minh:
Cho parabol với tiêu điểm F và đường chuẩn Δ.
Kẻ FP⊥Δ (P∈Δ). Đặt FP = p.
Ta chọn hệ trục tọa độ Oxy sao cho O là trung điểm của FP và điểm F nằm trên tia Ox.
Suy ra ta có F = (P/2; 0), P = (−P/2; 0)
Và phương trình của đường thẳng Δ là x + p2 = 0
Điểm M(x ; y) nằm trên parabol đã cho khi và chỉ khi khoảng cách MF bằng khoảng cách từ M tới Δ, tức là:
√(x-p/2)2 + y2 = |x + p/2|
Bình phương 2 vế của đẳng thức rồi rút gọn, ta được phương trình chính tắc của parabol:
y2 = 2px (p > 0)
Chú ý: Ở môn đại số, chúng ta gọi đồ thị của hàm số bậc hai y = ax2 + bx + c là một đường parabol.
3. Cách vẽ Parabol
Cho hàm số y = ax2 .Hàm số này xác định trên R :
- Nếu a > 0 thì hàm số giảm trên (-∞ ; 0) ; tăng trên (0;+ ∞ ),đạt cực tiểu khi x = 0
- Nếu a < 0 thì hàm số tăng trên (-∞ 0) ;giảm trên (0;+ ∞ ).đạt cực đại khi x = 0
Đồ thị Parabol của hàm số y = ax2 có đỉnh là gốc O và trục đối xứng là Oy.
Tọa độ đỉnh Parabol là điểm O (0;0)
Cách viết phương trình Parabol
Bước 1: Giả sử Parabol (P): y= ax2 + bx + c, với a ≠ 0.
Bước 2: Dựa vào điều kiện K để xác định a, b, c.
Trong bước này ta cần lưu ý các điều kiện thường gặp sau: Điểm A(x0, y0) ∈ (P) ta nhận được điều kiện: y0 = ax02 + bx0 + c.
Bước 3: Kết luận.
Tham khảo thêm: Tìm m để hàm số đồng biến, nghịch biến trên khoảng kèm VD
Cách xác định tọa độ đỉnh của Parabol
Cho parabol (P): y = ax2 + bx+c, ta có:
– Tọa độ đỉnh I của Parabol là I (−b/2a;−Δ/4a) (trong đó Δ = b2−4ac)
– Tọa độ giao điểm A của Parabol y = ax2 + bx + c với trục tung x = 0:
Thay x = 0 vào phương trình Parabol có: y = c ⇒ A (0; c)
– Tọa độ giao điểm B của Parabol y = ax2 + bx+c với trục hoành y = 0:
Hoành độ của B là nghiệm của phương trình y = ax2 + bx+c (1)
Nếu phương trình (1) vô nghiệm ⇒ không tồn tại điểm B
Nếu phương trình (1) có nghiệm kép ⇒ Parabol tiếp xúc với trục hoành tại B (−b/2a;0)
Nếu phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt Parabol cắt trục hoành tại hai điểm 
Xem ngay: Phương trình mặt cầu và các dạng bài tập phương trình mặt cầu có đáp án
Sự tương giao giữa đường thẳng và Parabol
Sự tương giao giữa đường thẳng d: y = mx + n và parabol (P): y = ax2 (a≠0).
Số giao điểm của đường thẳng d và parabol (P) là số nghiệm của phương trình hoành độ giao điểm
ax2 = mx + n ⇔ ax2 − mx −n = 0(*)
- Phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt (Δ > 0) thì d cắt (P) tại hai điểm phân biệt
- Phương trình (*) có nghiệm kép (Δ = 0) thì d tiếp xúc với (P).
- Phương trình (*) vô nghiệm (Δ < 0) thì d không cắt (P)
Tham khảo thêm: Lý thuyết về phương trình đường thẳng và các dạng bài tập có lời giải từ A – Z
Bài tập về phương trình Parabol có lời giải
Ví dụ 1: Cho parabol có phương trình y = x2 − 3x + 2. Xác định tọa độ đỉnh của Parabol.
Lời giải:
Gọi I là đỉnh của Parabol y = x2 − 3x + 2. Ta có:
xI = − b/2a = −(−3) / 2.1 = 3⁄2
Δ = (−3)2 − 4.1.2 = 1
yI = −Δ/4a = −1/4.1 =−1⁄4
⇒ I (3⁄2;−1⁄4)
Vậy đỉnh của parabol là I (3⁄2;−1⁄4)
Ví dụ 2: Cho Parabol có phương trình y = −2x2 + 4x − 3. Tìm giao điểm của Parabol với trục tung và trục hoành.
Lời giải:
Gọi M là giao điểm của Parabol với trục tung.
Vì M cũng thuộc trung tung nên ta có M(0 ; yM)
Thay x = 0 vào y = −2x2 + 4x − 3 ta có: y = -2.0 + 4.0 – 3 = -3
⇒ M (0; -3)
Gọi N là giao điểm của Parabol với trục hoành.
Vì N cũng thuộc trục hoành nên ta có: N(xN;0)
Ta có phương trình hoành độ giao điểm của Parabol với trục hoành:
−2x2 + 4x − 3 = 0 (1)
Δ = 42 −4.(−2).(−3) = −8<0
⇒ Phương trình (1) vô nghiệm. ⇒ Parabol và trục hoành không có giao điểm.
Ví dụ 3: Viết phương trình chính tắc của parabol trong mỗi trường hợp sau:
a) Tiêu điểm là F2 (5; 0);
b) Phương trình đường chuẩn là x = –4
c) Parabol đi qua điểm A(4; 9).
Lời giải:
a) Gọi phương trình chính tắc của parabol cần tìm là y2 = 2px (p > 0).
Theo đề bài, ta có: Parabol có tiêu điểm là F2 (5; 0) ⇒ p/2 = 5 ⇒ p =10
Vậy phương trình chính tắc của parabol cần tìm là y2 = 20x.
b) Gọi phương trình chính tắc của parabol cần tìm là y2 = 2px (p > 0).
Thep đề bài, ta có: Parabol có đường chuẩn là x = – 4 ⇒ p/2 = 4 ⇒ p = 8
Vậy phương trình chính tắc của parabol cần tìm là y2 = 16x.
c) Gọi phương trình chính tắc của parabol cần tìm là y2 = 2px (p > 0).
Thep đề bài, ta có: Parabol đi qua điểm A (4; 9)⇒ 9 = 2p.4 ⇒ p = 81⁄8
Vậy phương trình chính tắc của parabol cần tìm là y2 = 81⁄4x.
Ví dụ 4: Cho parabol (P): y = x2 và đường thẳng (d): y = x + m (với m là tham số). Giá trị của để (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt có hoành độ trái dấu
Lời giải
Phương trình hoành độ giao điểm của (P) và (d) là
x2 = x + m ⇔ x2 – x – m (*)
Ta có Δ = b2 – 4ac = (-1)2 – 4.a(-m) = 1 + 4m
Để (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt thì phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt
⇔ Δ > 0 ⇔ 1 + 4m > 0 ⇔ m > 1⁄4
Giải sử x1, x2 là hai nghiệm phân biệt của phương trình (*)
Áp dụng định lý Vi-ét, x1.x2 = – m
Để (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt có hoành độ trái dấu
Thì x1.x2 < 0 ⇔ -m < 0 ⇔ m > 0
Vậy (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt có hoành độ trái dấu khi m > 0
⇒ m = √3 thì (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt có hoành độ trái dấu
Ví dụ 5: Cho parabol (P): y = x2 và đường thẳng (d): y = x + m
a, Xác định tọa độ giao điểm của parabol và đường thẳng khi m = 6
b, Biện luận theo m số giao điểm của đường thẳng và parabol
Lời giải:
a, Với m = 6, ta có (d): y = x + 6
Phương trình hoành độ giao điểm giữa parabol (P) và đường thẳng (d) là:
x2 = x + 6 ⇔ x2 – x – 6 = 0 (1)
Ta có Δ = b2 – 4ac = 1 – 4.(-6) = 25 > 0
Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt 
Với x = 3 ta có y = 9
Với x = -2 ta có y = 4
Vậy với m = 6 thì parabol (P) cắt đường thẳng (d) tại hai điểm có tọa độ A(3; 9) và B(-2; 4)
b, Phương trình hoành độ giao điểm của parabol (P) và đường thẳng (d): x2 = x + m ⇔ x2 – x – m = 0 (1)
Ta có Δ = b2 – 4ac = 1 – 4.(-m) = 1 + 4m
Nếu Δ > 0 ⇔ 1 + 4m > 0 ⇔ m > -1⁄4 thì phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt hai parabol (P) cắt đường thẳng (d) tại hai điểm phân biệt
Nếu Δ < 0 ⇔ 1 + 4m < 0 ⇔ m < -1⁄4 thì phương trình (1) vô nghiệm hay parabol (P) và đường thẳng (d) không có điểm chung
Nếu Δ = 0 ⇔ 1 + 4m = 0 ⇔ m = -1⁄4 thì phương trình (1) có nghiệm kép hay parabol (P) tiếp xúc với đường thẳng (d) tại một điểm
Hy vọng với những thông tin mà chúng tôi vừa chia sẻ có thể giúp các bạn học sinh nhớ được kiến thức về phương trình Parabol để áp dụng vào làm bài tập rồi nhé.
