Cấp số nhân là gì? Công thức tính cấp số nhân kèm bài tập có đáp án

Cấp số nhân là một trong những kiến thức toán học có rất nhiều trong các bài thi, kiểm tra và còn được sử dụng rất nhiều trong thực tế. Do đó, Hyundai Smart Phone sẽ chia sẻ định nghĩa cấp số nhân là gì? Công thức tính cấp số nhân kèm bài tập có đáp án chi tiết trong bài viết dưới đây để các bạn cùng tham khảo

Định nghĩa cấp số nhân là gì?

Trong toán học, một cấp số nhân là một dãy số thoả mãn điều kiện kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng đều là tích của số hạng đứng ngay trước nó với một số không đổi q. Số q được gọi là công bội của cấp số nhân.

Như vậy, một cấp số nhân có dạng: a, ar, ar², ar³, ar⁴,…trong đó r là công bội và a là số hạng đầu tiên.

Nếu (u_n) là cấp số nhân với công bội q, ta có công thức truy hồi: u_n = u_n-1 . q với n ∈ N*

Đặc biệt:

• Khi q = 0, cấp số nhân có dạng u₁; 0; 0; … 0; …
• Khi q = 1, cấp số nhân có dạng u₁; u₁; … u₁;…
• Khi u₁ = 0 thì với mọi q, cấp số nhân có dạng 0; 0; 0; … 0; …

Số hạng tổng quát của cấp số nhân

Số hạng tổng quát của cấp số nhân (un) được xác định bởi công thức:

u_n = u₁ . q^{n – 1} với ∀n ∈ N*, n ≥ 2

Tính chất của cấp số nhân

Ba số hạng u_{k – 1}, uk, u_k+1 là ba số hạng liên tiếp của cấp số cộng khi và chỉ khi u_k² = u_{k – 1}.u_k+1 với k ≥ 2

Tổng n số hạng đầu

Tổng n số hạng đầu tiên của cấp số nhân được xác định bởi công thức:

Lưu ý: Nếu q = 1 thì cấp số nhân là u₁; u₁; u₁; … u₁;.. khi đó S_n = n.u₁.

Tham khảo thêm:

• Công thức hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp và bài tập có đán án chuẩn 100%
• Trung bình cộng là gì? Công thức tính trung bình cộng kèm VD
• Bảng Nguyên Hàm cơ bản, nâng cao, mở rộng, thường gặp Đầy Đủ

Các dạng bài tập về cấp số nhân có lời giải chi tiết nhất

1. Dạng 1. Xác định cấp số cộng và các yếu tố của cấp số nhân

Phương pháp giải:

• Dãy số (u_n) là một cấp số nhân khi và chỉ khi u_n+1/u_n = q không phụ thuộc vào n và q là công bội của cấp số nhân đó.
• Để xác định một cấp số nhân, ta cần xác định số hạng đầu và công bội. Ta thiết lập một hệ phương trình hai ẩn u­₁ và q. Tìm u­₁ và q.
• Tìm số hạng thứ n dựa vào công thức tổng quát: u_n = u₁ . q_n^-1 hoặc công thức truy hồi u_n = u_{n – 1} . q.

Ví dụ 1: Cho các dãy số sau, dãy số nào là cấp số nhân. Nếu là cấp số nhân hãy xác định số hạng đầu tiên và công bội:

a) 1; – 2; 4; – 8; 16; – 32; 64

b) Dãy (u_n): u_n = n.6ⁿ⁺¹

c) Dãy (v_n): v_n = (– 1)ⁿ.32ⁿ.

Lời giải

a) Ta thấy −2⁄1 = 4⁄−2 = −8⁄4 = 16⁄−8 = −32⁄16 = 64⁄−32 =− 2

Nên dãy số trên là cấp số nhân với số hạng đầu tiên là u₁ = 1 và công bội q = – 2.

b) Ta có: u_n = n. 6ⁿ⁺1 thì u_n+1 = (n + 1).6ⁿ⁺²

Vậy dãy số trên là cấp số nhân với số hạng đầu tiên u₁ = (– 1)¹.3^2.1 = – 9 và công bội q = – 9.

Ví dụ 2: Cho cấp số nhân

1. Viết năm số hạng đầu của cấp số;

2. Tính tổng 10 số hạng đầu của cấp số;

3. Số 2/6561 là số hạng thứ bao nhiêu của cấp số ?

Lời giải

Gọi q là công bội của cấp số. Theo giả thiết ta có:

1. Năm số hạng đầu của cấp số là:

u₁ = 2, u₂ = 2⁄3, u₃ = 2⁄9, u₄ = 2⁄27, u₅ = 2⁄81.

2. Tổng 10 số hạng đầu của cấp số

3. Ta có:

Vậy 2/6561 là số hạng thứ 9 của cấp số.

2.

2. Dạng 2. Tìm điều kiện để dãy số lập thành cấp số nhân. Chứng minh cấp số nhân

Phương pháp giải: Sử dụng tính chất: Ba số hạng u_k−1 ; uk ; u_{k + 1} là ba số hạng liên tiếp của cấp số nhân khi và chỉ khi u_k²=u_k−1.u_{k + 1}

Ví dụ 1:

Ví dụ 1: Tìm x sao cho các số 1; x²; 6 – x² lập thành cấp số nhân.

Lời giải

Ta có: 1; x²; 6 – x² lập thành cấp số nhân

⇔ x⁴ =1.(6−x²) ⇔ x² = 2 hoặc x² = -3 (loại)

⇔ x = ±√2

Vậy x = ±√2 thì các số trên lập thành cấp số nhân.

Ví dụ 2: Các số 5x – y; 2x + 3y; x + 2y lập thành cấp số cộng; các số (y + 1)² ; xy + 1 ; (x – 1)² lập thành cấp số nhân. Tìm x và y.

Lời giải

Ta có các số 5x – y, 2x + 3y, x + 2y lập thành cấp số cộng

⇔ 2(2x + 3y) = 5x – y + x +2y

⇔4x + 6y = 6x +y ⇔ 2x = 5y.

Các số (y + 1)² ; xy + 1 ; (x – 1)² lập thành cấp số nhân

(xy + 1)2 = (y+1)2(x-1)2

⇔[xy + 1 + (y + 1)(x-1)][xy + 1 – (y + 1)(x – 1)] = 0

⇔(2xy – y + x)(2 + y – x) = 0

⇔(4 + 2y – 2x)(4xy + 2x – 2y) = 0 (2)

Thay (1) vào (2) ta được: (4 + 2y – 5y)(10y² + 5y – 2y) = 0

3. Dạng 3. Tính tổng của một cấp số nhân

Phương pháp giải: Tổng n số hạng đầu tiên Sn được xác định bởi công thức:

Nếu q = 1 thì cấp số nhân là u₁; u₁; u₁; … u₁; … khi đó S_n = n.u₁.

Ví dụ 1: Cho cấp số nhân (u_n)

a) (u­_n) có số hạng tổng quát là: u_n = 2.( –3)^k. Tính S15.

b) (u­_n) có số hạng đầu là 18, số hạng thứ hai kia là 54, số hạng cuối bằng 39366. Tính tổng của tất cả các số hạng của cấp số nhân.

Lời giải

a) (u­_n) có số hạng tổng quát là: u_n = 2. (– 3)^k thì u₁ = 2 và q = – 3

Tổng 15 số hạng đầu tiên của cấp số nhân là

b) Số hạng đầu tiên u₁ = 18

Số hạng thứ hai u₂ = 54 ⇒ u₁q = 54 ⇒ q=3

Số hạng cuối u_n = 39366 ⇔ u₁.qⁿ⁻¹ = 39366 ⇔ 18.3ⁿ⁻¹ = 39366 ⇔ 3ⁿ⁻¹ = 3⁷⇔ n = 8

Hy vọng với những thông tin mà chúng tôi vừa chia sẻ có thể giúp các bạn nắm được cấp số nhân là gì và công thức cấp số nhân để áp dụng vào làm bài tập rồi nhé. Cảm ơn các bạn đã theo dõi bài viết của chúng tôi.